放射性元素の崩壊モデル
放射性元素の残留率の時間変化を，サイコロを用いて理解することが本実験の目的である。 また，確率的な現象に対して持っている誤概念を修正し，0%の確率は10回試行すると1回は必ず起きる? 粒子の数が増えるほど，時間変化が滑らかになっていく様子を観察する。
必要なもの(未着手)
実験方法(未着手)
工夫(未着手)
付録 数理モデルによる考察
放射性元素の残留率の時間変化について
放射性元素が現象していく様子は，指数関数によって記述される。 この導出は初等的な微分方程式から導出することが可能である。
まず，ある時刻$t$において，崩壊せずに残っている粒子数を$N=N(t)$とし，$t=0$のときの粒子数を$N(0)=N_{0}$とする。 微小時間$\Delta t$時間が経過した時，粒子の変化率$\dfrac{\Delta N}{\Delta t}$はその時の粒子の数に依存するはずである。 変化率とは，単位時間当たりの変化の量である。例えば，「10個のものが1個になる変化」と「100000個のものが10000個になる変化」では，両者とも90％減少しているが変化している個数は大きく異なり，変化率は後者が圧倒的に大きい。この差は，初期状態の個数に由来する。 $\Delta t \rightarrow 0$を考えると， \begin{equation} \frac{dN}{dt}= -\gamma N \end{equation} と記述できる。 この微分方程式は非常に初等的なものである。 自分自身を時間微分すると，同形が出てくるような関数を解の候補として選べば良い。この一般解は， \begin{equation} N(t)=Ae ^{- \gamma t} \end{equation} 実際に，上記の微分方程式に代入すると， $$左辺=\frac{ d(Ae^{-\gamma t})}{dt}=A\frac{ d(e^{-\gamma t})}{dt} =-A\gamma e^{-\gamma t} =-\gamma Ae^{-\gamma t} = -\gamma N = 右辺 $$ となり，方程式を満たす。 である。$N(0)=N_{0}$を思い出すと，$e^{- \gamma \cdot 0}=1$であるから，この場合の特殊解は \begin{equation} N(t)=N_{0}e^{- \gamma t} \end{equation} となる。